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Problem: 70. 爬楼梯

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶

2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

思路

在上一讲从递归到动态规划中，我们讲解了递归和动态规划的求解思路，但是我们发现这两种方案的时间复杂度都为 $o(n)$，我们试图找一种更加优秀的时间复杂度的解法

这里我们就要介绍快速幂的概念了

我们先将n表现为2进制，例如$3^{13}$ = $3^{1101}$ = $3^8$ * $3^4$ * $3$

因为n有 $\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor$+1 个二进制位 当我们知道了 $a^1,a^2,a^3....$后我们只需要$o(logn)$次乘法就可以计算出$a^n$了。

于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 $2^k$ 次幂的序列。这个问题很简单，因为序列中（除第一个）任意一个元素就是其前一个元素的平方。例如：

那么对于我们刚才举得例子而言，我们只要计算得出$3^8$ ， $3^4$ ， $3$，就可以得到其最后的真实值。
整个算法的时间复杂度是 $0(logn)$，比递归和递归都要优秀

回到本题，本题快速乘有一点不同，本题要用到矩阵 ，由上一篇从递归到动态规划中，我们已经知道了状态的递归公式：
$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
我们可以得到这样一个关系：

只要我们快速的求出矩阵的n次幂，那么我们就可以得出f(n)，即最终答案。这里快速求解矩阵的方法，正是刚刚所讲的快速幂解法。

Code

class Solution {public int climbStairs(int n) {int[][] q = {{1,1},{1,0}};int[][] res = pow(q,n);return res[0][0];}public int[][] pow(int[][] a,int n){int[][] ret = {{1,0},{0,1}};while(n>0){if( (n&1)==1 ){ret = multiply(ret,a);}n >>= 1;a = multiply(a,a);}return ret;}public int[][] multiply(int[][] a,int[][] b){int[][] c = new int[2][2];for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];}}return c;}}

复杂度

时间复杂度:

只需要求$log(n)$次，$O(logn)$

空间复杂度:

$O(1)$