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一、引言

贝叶斯分类是分类算法的总称，该类算法均以贝叶斯定理为基础，因此称为贝叶斯分类。而朴素贝叶斯（Naive Bayes）分类是贝叶斯分类中最简单，最常见的一种分类方法。
朴素贝叶斯算法的核心思想： 通过计算特征概率来预测分类，即对于给出的待分类样本，求解在此样本出现的条件下各个类别出现的概率，哪个最大，就认为此待分类样本属于哪个类别。

举个栗子： 有1000个西瓜，生瓜和熟瓜个数差不多，现在要用这些西瓜来训练一个识别生瓜的模型，应该如何做呢？
在日常生活中，我们根据实际经验，挑选西瓜之前会先拍一拍，听声音是清脆还是沉闷。如果我们只通过拍击的声音来辨别是好瓜还是坏瓜，声音清脆说明西瓜还不够熟，声音沉闷说明西瓜成熟。
所以，坏西瓜的敲击声是清脆的概率更大，好西瓜的敲击声是沉闷的概率更大。P(坏瓜声音清脆)—>概率大；P(好瓜声音沉闷)—>概率大
当然这也并不绝对，我们千挑万选地「沉闷」瓜也可能并没熟，这就是噪声了。在实际生活中，除了敲击声，我们还有其他可能特征来辅助判断，例如色泽、根蒂、品类等。

朴素贝叶斯把类似拍击声这样的特征概率化，构成一个西瓜的品质向量以及对应的生瓜/熟瓜标签，训练出一个标准的基于统计概率的好坏瓜模型。利用模型，我们在知道某一个西瓜的特征值之后，将其输入到模型中，可以分别输出好坏瓜的概率，根据概率的大小来判别。

二、贝叶斯定理

公式：

（一）先验概率： 事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计，可以由背景常识得出，也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率。在公式中P(A)和P(B) 都是先验概率。

例如：如果对于某个西瓜的色泽、根蒂和纹理等特征一无所知，按照常理来说，西瓜是好瓜的概率是60%。那么这个概率P（好瓜）就被称为先验概率。

（二）条件概率： 一个事件发生后另一个事件发生的概率，又叫似然概率。在公式中P(B|A) 是条件概率。
（三）后验概率： 事件发生后求的反向条件概率。即基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。在公式中P(A|B) 是后验概率。

例如了解到判断西瓜是否好瓜的一个指标是纹理。一般来说，纹理清晰的西瓜是好瓜的概率大一些，大概是75%。如果把纹理清晰当作一种结果，然后去推测好瓜的概率，那么这个概率P（好瓜|纹理清晰）就被称为后验概率。

三、朴素贝叶斯

重要前提： 每一个事件属性都是相互独立的 ，attributes are conditionally independent
这也是朴素的由来，假设待分类项的各个属性在相互独立的情况下，构造出来的分类算法。

朴素贝叶斯模型的基本思想： 对于给定的待分类项X{a1, a2,a3,…,an}，求解在此项出现的条件下各个类别yi出现的概率，哪个P(yi|X)最大，就把此待分类项归属于哪个类别。

举个栗子： 有以下一组数据


在朴素贝叶斯算法中，待分类项的各个特征属性条件独立

由于公式中分母P(X)表示数据集中每一个特征属性存在的概率，是固定的，因此我们在求解后验概率时一般只考虑分子即可。
又由于每一个特征属性相互独立，

推导出

在了解计算公式之后，我们使用公式来解决实际问题吧！

四、举个栗子

假设已知一个瓜{‘青绿’，‘稍蜷’，‘沉闷’，‘清晰’，‘稍凹’，‘硬滑’}，判断该瓜好不好？
（一）根据贝叶斯公式

（二）转换成分类任务的表达式

（三）开始计算
P(好瓜|青绿 稍蜷 沉闷 清晰 稍凹 硬滑) 和 P(坏瓜|青绿 稍蜷 沉闷 清晰 稍凹 硬滑) 的概率哪个大


分母计算采用全概率公式：

带入数据

P(好瓜) = 3/7 P(坏瓜) = 4/7
P(青绿│好瓜)P(稍蜷│好瓜)P(沉闷│好瓜)P(清晰│好瓜)P(稍凹│好瓜)P(硬滑│好瓜)
= (2/3) * (1/3) * (1/3) * (3/3) * (1/3) * (2/3) = 12/729
P(青绿│坏瓜)P(稍蜷│坏瓜)P(沉闷│坏瓜)P(清晰│坏瓜)P(稍凹│坏瓜)P(硬滑│坏瓜)
= (1/4) * (1/4) * (1/4) * (1/4) * (1/4) * (2/4) = 2/4096
P(好瓜) * P(青绿│好瓜)P(稍蜷│好瓜)P(沉闷│好瓜)P(清晰│好瓜)P(稍凹│好瓜)P(硬滑│好瓜)
= 3/7 * 12/729 = 36/5103
P(坏瓜) * P(青绿│坏瓜)P(稍蜷│坏瓜)P(沉闷│坏瓜)P(清晰│坏瓜)P(稍凹│坏瓜)P(硬滑│坏瓜)
= 4/7 * 2/4096 = 8/28672
P(青绿 稍蜷 沉闷 清晰 稍凹 硬滑) = 36/5103 + 8/28672

最终：
P(好瓜|青绿 稍蜷 沉闷 清晰 稍凹 硬滑) = (36/5103) / (36/5103 + 8/28672) = 0.9619
P(坏瓜|青绿 稍蜷 沉闷 清晰 稍凹 硬滑) = (8/28672) / (36/5103 + 8/28672) = 0.0380
由于 0.9619 > 0.0380 ，因此 该瓜是好瓜。

五、拉普拉斯平滑处理

例如在上述数据集中，好瓜的纹理都为‘清晰’，当假设的数据中出现‘稍糊’和‘模糊’时，此时我们计算出的概率为0，但是在样本数据量足够大的情况下可能性并不为0。
为了解决零概率的问题，法国数学家拉普拉斯最早提出用加1的方法估计没有出现过的现象的概率，所以加法平滑也叫做拉普拉斯平滑。

假定数据样本量很大时，每个分量x的计数加1造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题。

六、拉普拉斯平滑处理后的条件概率计算公式

1. N_yi表示类别y的所有样本中特征x_i的特征值之和；
2. N_y表示类别y的所有样本中全部特征的特征值之和；
3. n 表示特征总数；
4. α 表示表示平滑值（α∈[0,1]）主要为了防止训练样本中某个特征没出现而导致N_yi = 0 ，从而导致条件概率P( x_i∣ y ) = 0 的情况，如果不加入平滑值，则计算联合概率时由于某一项为0导致后验概率为0的异常情况出现。