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一学习资料分享 来源024-一张图但讲懂马尔可夫决策过程_哔哩哔哩_bilibili 马尔可夫链提供了一种建模随机过程的方法具有广泛的应用。在实际问题中通过转移概率矩阵及初始状态分布我们可以推导出未来的状态概率。这使得马尔可夫链成为许多复杂系统分析中的重要工具。
其余学习文章马尔可夫链 ▏小白都能看懂的马尔可夫链详解-CSDN博客马尔可夫链 ▏小白都能看懂的马尔可夫链详解-CSDN博客
基础知识如何理解马尔可夫链
二概念 马尔可夫链是一种随机过程其特点是未来的状态只依赖于当前状态而与过去的状态无关。这一特性称为“无记忆性”或“马尔可夫性质”。马尔可夫链广泛应用于各个领域包括物理学、经济学、计算机科学等。
三基本组成
状态空间马尔可夫链的所有可能状态的集合通常用集合 ( S ) 表示。转移概率从一个状态转移到另一个状态的概率通常用转移概率矩阵 ( P ) 表示其中 ( P(i,j) ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。初始状态分布描述系统在起始时刻处于各状态的概率分布通常用向量 ( \pi_0 ) 表示。
四相关扩展变体
1. 隐马尔可夫模型HMM在观察数据和隐藏状态之间建立联系的模型常用于语音识别、自然语言处理等领域。
改进点
隐藏状态在HMM中系统的状态是不可直接观察的而只能通过与之相关的观测数据来推断。这与基本马尔可夫模型中的状态是可以直接观察到的情况不同。输出概率分布HMM引入了从每个隐藏状态生成观测数据的概率分布使得可以建模更复杂的现象。例如一个隐藏状态可能对应于多个观测结果这使得HMM能够处理更加复杂和不确定的情况。序列建模能力HMM特别适合处理时序数据比如语音信号或文本序列通过学习隐藏状态序列与观测数据之间的关系可以进行预测、分类等任务。
2. 时间非齐次马尔可夫链转移概率随时间变化的马尔可夫链。
改进点
动态转移概率在时间非齐次马尔可夫链中转移概率不仅依赖于当前状态还依赖于时间。这意味着模型可以捕捉到时间变化带来的影响能够更精确地描述某些过程如经济周期的变化。灵活性这种模型允许在不同时间点使用不同的转移概率矩阵从而增强了模型的表达能力可以更好地适应具有时间依赖性的实际应用场景。
3. 连续时间马尔可夫链状态转移发生在连续时间上的马尔可夫链。
改进点
时间参数化在连续时间马尔可夫链中状态转移发生在连续时间上而不是离散的步骤。这种模型能够更真实地描述一些现实世界中的随机过程例如排队系统、药物在体内的浓度变化等。指数分布的使用状态转移间隔时间通常遵循指数分布使得模型能够自然地处理事件发生的时间间隔这是在离散时间马尔可夫链中无法实现的。更广泛的应用连续时间马尔可夫链适用于许多需要实时监控和分析的领域如生物统计学、金融工程和通信网络等。
五例题
1例题 0: 马尔可夫链例题
1例题描述 假设有一个简单的天气模型天气状态可以是“晴天”、“阴天”或“雨天”。状态空间 ( S {晴天, 阴天, 雨天} )。已知转移概率矩阵如下
晴天阴天雨天晴天0.80.10.1阴天0.40.40.2雨天0.20.50.3
假设今天是晴天问明天天气为阴天的概率是多少
2解题讲解 确定初始状态根据题意今天是晴天因此初始状态分布可以表示为 利用转移概率矩阵我们需要找出从“晴天”到“阴天”的转移概率。根据转移概率矩阵我们可以看到 最终结果因此如果今天是晴天则明天天气为阴天的概率为 ( 0.1 )。
2例题 1隐马尔可夫模型HMM
1问题描述 假设有一个隐马尔可夫模型用于识别天气状态与观察到的气象。隐藏状态为“晴天”、“阴天”、“雨天”观察状态为“户外活动”、“在家”。已知转移概率矩阵和发射概率矩阵如下
转移概率矩阵 ( P )
晴天阴天雨天晴天0.70.20.1阴天0.30.40.3雨天0.20.50.3
发射概率矩阵 ( B )
户外活动在家晴天0.90.1阴天0.50.5雨天0.10.9
如果今天观察到的是“户外活动”求出最可能的天气状态序列。
2解题讲解
为了求解这个问题我们可以使用维特比算法该算法用于寻找最有可能的状态序列。
1.初始化
根据初始状态分布假设假设初始状态均匀分布。计算每个状态的初始概率乘以观测概率 2.递推计算对于后续的观测进行递推计算每个状态计算最大概率路径
对于第二个观测假设为“在家”需要考虑前一步的转移概率和当前的观测概率。重复此过程直到最后一步选择最大概率路径。
3.回溯找到最优路径在获得所有状态的最大概率后回溯找到最优状态序列。
3例题 2时间非齐次马尔可夫链
1问题描述 考虑一个市场状态模型有两种状态“上涨”和“下跌”。它们的转移概率不是固定不变的而是随时间变化如下表所示
时间上涨转上涨上涨转下跌下跌转上涨下跌转下跌t10.60.40.30.7t20.80.20.40.6
假设在时刻 ( t0 ) 的状态为“上涨”计算在时刻 ( t2 ) 时状态为“下跌”的概率。
2解题讲解 确定初始状态在时间 ( t0 )状态为“上涨”即初始状态分布为 计算转移概率 从 ( t0 ) 到 ( t1 ) 计算从 ( t1 ) 到 ( t2 ) 已知在 ( t1 ) 时状态分布为接下来使用 ( t2 ) 的转移概率矩阵进行计算 时间上涨转上涨上涨转下跌下跌转上涨下跌转下跌t20.80.20.40.6 计算在 ( t2 ) 时状态分布 对于状态“上涨”和“下跌”计算如下 状态“上涨”在时刻 ( t2 ) 的概率 状态“下跌”在时刻 ( t2 ) 的概率 结果因此在时刻 ( t2 ) 状态为“下跌”的概率为 ( 0.36 )。
4例题 3吸收马尔可夫链
1问题描述
考虑一个抽奖游戏参与者可以处于以下三种状态
状态 0: 未中奖状态 1: 中了一等奖状态 2: 中了二等奖
如果在状态 0参与者以 50% 的概率中一等奖以 30% 的概率中二等奖以 20% 的概率继续保持在状态 0。
已知奖金不再返回到状态 0因此这是一个吸收马尔可夫链。求在多次抽奖后最终进入状态 1 或状态 2 的概率。
2解题讲解 建立转移概率矩阵 ( P ): 这里的第一行表示从状态 0 转移到其他状态的概率第二、第三行分别表示状态 1 和状态 2 是吸收状态。 求解吸收概率 定义 ( R ) 为吸收状态的概率矩阵即只有状态 1 和状态 2 的转移概率。即: 计算 ( B ) 为从未中奖状态状态 0转入各吸收状态的概率。 首先计算 ( Q ) 矩阵非吸收状态间的转移概率 求解吸收概率续 第一个方程表示从状态 0 转移到状态 1 的概率包括直接转移到状态 1 的概率 ( 0.5 ) 和保持在状态 0 后再次转移到状态 1 的概率 ( 0.2p_1 )。 第二个方程同理表示从状态 0 转移到状态 2 的概率。 我们已经建立了状态转移矩阵 ( P ) 和吸收概率矩阵 ( R )。现在我们需要找到从未中奖状态状态 0进入状态 1 和状态 2 的最终概率。 对于这个问题我们可以通过计算期望吸收时间和对应的吸收概率来解决。首先定义 ( p_1 ): 从状态 0 进入状态 1 的概率( p_2 ): 从状态 0 进入状态 2 的概率 因为状态 1 和状态 2 是吸收状态所以在状态 0 下的转移可以写作 解方程 将第一个方程重组为 第二个方程同样重组为 结果 最后我们得到了从状态 0 开始进入各个吸收状态的概率 从状态 0 进入状态 1 的概率 ( p_1 0.625 )从状态 0 进入状态 2 的概率 ( p_2 0.375 ) 验证这两个概率的总和为 ( p_1 p_2 0.625 0.375 1 )符合概率性质。
二、马尔可夫链与动态规划的联系和区别 马尔可夫链和动态规划虽然在某些方面有交集但它们的核心理念、应用目标和具体实现方法有所不同。理解这两者的关系和区别有助于在实际问题中选择合适的工具和方法。
一联系
马尔可夫链和动态规划都是处理状态转移和决策过程的重要工具它们之间存在如下联系 状态二者都涉及状态的概念。在马尔可夫链中状态是系统在某一时刻可能处于的情况而在动态规划中状态通常表示某个子问题的解决方案。 转移马尔可夫链关注状态之间的转移概率而动态规划则关注从一个状态到下一个状态的决策过程。两者都利用先前的状态信息来推导后续状态。 优化动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题而马尔可夫决策过程MDP是一种将动态规划应用于随机环境的方法。这使得动态规划可以处理带有不确定性的决策问题。 递归关系动态规划依赖于递归关系来定义状态间的转移马尔可夫链也通过转移概率定义了状态之间的关系。
二区别
尽管马尔可夫链和动态规划有相似之处但它们在目的、方法和应用等方面存在显著区别 目的 马尔可夫链主要用于建模和分析随机过程关注的是状态转移的概率分布。动态规划主要用于寻找最优解关注的是如何在给定条件下做出最佳决策。 决策 vs. 预测 马尔可夫链通常是被动的描述现象的演化可以用于预测未来状态的概率。动态规划是主动的制定决策以达到目标通常涉及优化某个目标函数。 模型类型 马尔可夫链是一种随机模型强调无记忆性和状态转移的随机性。动态规划可以是确定性的也可以是随机的但其核心是通过分解问题并逐步构建解决方案。 应用领域 马尔可夫链广泛应用于统计学、金融、物理、计算机科学等领域尤其是在序列数据和随机过程的分析中。动态规划常用在运筹学、算法设计、计算机程序优化等领域适用于背包问题、最长公共子序列等经典问题。
