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神经网络 模型表示2

使用向量化的方法会使得计算更为简便。以上面的神经网络为例，试着计算第二层的值：

我们令 $z^{\left(2\right)}={\theta }^{\left(1\right)}x$，则 $a^{\left(2\right)}=g(z^{\left(2\right)})$ ，计算后添加 $a_0^{\left(2\right)}=1$。 计算输出的值为：

我们令 $z^{\left(3\right)}={\theta }^{\left(2\right)}{a}^{\left(2\right)}$，则 $h_{\theta }(x)=a^{\left(3\right)}=g(z^{\left(3\right)})$。
这只是针对训练集中一个训练实例所进行的计算。如果我们要对整个训练集进行计算，我们需要将训练集特征矩阵进行转置，使得同一个实例的特征都在同一列里。即：
${{z}^{\left( 2 \right)}}={{\Theta }^{\left( 1 \right)}}\times {{X}^{T}} $

$a^{\left(2\right)}=g(z^{\left(2\right)})$

为了更好了了解Neuron Networks的工作原理，我们先把左半部分遮住：

右半部分其实就是以$a_0,a_1,a_2,a_3$, 按照Logistic Regression的方式输出$h_{\theta }(x)$

其实神经网络就像是logistic regression，只不过我们把logistic regression中的输入向量$\left[x_1\sim x_3\right]$ 变成了中间层的$\left[a_1^{(2)}\sim a_3^{(2)}\right]$, 即: $h_{\theta }(x)=g\left({\Theta }_0^{\left(2\right)}{a}_0^{\left(2\right)}+{\Theta }_1^{\left(2\right)}{a}_1^{\left(2\right)}+{\Theta }_2^{\left(2\right)}{a}_2^{\left(2\right)}+{\Theta }_3^{\left(2\right)}{a}_3^{\left(2\right)}\right)$
我们可以把$a_0,a_1,a_2,a_3$看成更为高级的特征值，也就是$x_0,x_1,x_2,x_3$的进化体，并且它们是由 $x$与$\theta$决定的，因为是梯度下降的，所以$a$是变化的，并且变得越来越厉害，所以这些更高级的特征值远比仅仅将 $x$次方厉害，也能更好的预测新数据。
这就是神经网络相比于逻辑回归和线性回归的优势。